Tính toán xác suất sai lầm liên tiếp lên và xuống
Tuy nhiên, có một số trường hợp mà chúng ta cần tính toán xác suất của một sự kiện xảy ra liên tiếp nhiều lần, chẳng hạn như tính toán xác suất của một người chơi bài đánh bạc liên tiếp thua 3 lần. Trong trường hợp này, chúng ta cần tính toán xác suất của một sự kiện xảy ra liên tiếp n lần, đôi khi n có thể rất lớn.
Sử dụng công thức bayes để tính toán xác suất của một sự kiện xảy ra liên tiếp n lần là khá phức tạp, vì cần tính toán nhiều tổ hợp khác nhau. Tuy nhiên, chúng ta có thể sử dụng một phương pháp đơn giản hơn, đó là sử dụng công thức tính toán xác suất của sự kiện xảy ra ít lần (được gọi là "Stirling's approximation").
Công thức Stirling's approximation cho biết:
\[ \ln n! \approx n \ln n - n \]
Trong đó, \( n!\) là hệ số ngang \( n \) và \(\ln\) là hàm đạo hàm tự nhiên.
Ví dụ:
\[ \ln 5! \approx 5 \ln 5 - 5 \]
Sử dụng công thức này, chúng ta có thể tính toán xác suất của một sự kiện xảy ra liên tiếp n lần bằng cách sử dụng công thức bayes, nhưng sử dụng Stirling's approximation để tính toán \( P(A_i) \) và \( P(A_i|H) \).
Để hiểu rõ hơn, hãy xem một ví dụ:
Supposing that the probability that a coin lands on heads is 0.5, and we want to calculate the probability that in 10 consecutive tosses, the coin lands on heads 8 times or more. This is a binomial distribution problem, and the probability mass function (PMF) for k successes in n trials is given by:
\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
In this case, \( n = 10 \), \( k \geq 8 \), \( p = 0.5 \). We can calculate \( P(X=8) \), \( P(X=9) \), and \( P(X=10) \) separately and add them together to get the final answer.
However, if we want to calculate this probability using Stirling's approximation, we can approximate the factorial terms in the PMF using Stirling's approximation. This gives us:
\[ P(X=k) \approx \frac{n!}{(n-k)!} \left(\frac{p}{1-p}\right)^k \left(\frac{1-p}{p}\right)^{n-k} \]
\[ P(X=k) \approx \frac{n!}{(n-k)!} \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(2\right)^{n-k} \]
\[ P(X=k) \approx 2^n \sqrt{\frac{n}{2\pi k(n-k)}} \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(2\right)^{n-k} \]
\[ P(X=k) \approx 2^n \sqrt{\frac{n}{2\pi k(n-k)}} \left(\frac{1}{2}\right)^n \]
In this case, \( n = 10 \), \( k = 8, 9, 10 \). We can calculate these probabilities separately and add them together to get the final answer.
Note that this approximation may not be perfect, but it can give us a good estimate of the true probability. Additionally, there are more sophisticated approximations available if needed.
In conclusion, while calculating the probability of an event occurring consecutively many times can be complex, using Stirling's approximation can provide us with a reasonable estimate of the true probability. This approximation is particularly useful when dealing with large datasets or when an exact calculation is not feasible due to computational constraints. By approximating the factorial terms in the probability mass function using Stirling's approximation, we can quickly and accurately
